Question

【题目】如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直.点M在上移动，点N在上移动，若（）.

（1）当a为何值时，的长最小；

（2）当长最小时，求面与面所成的二面角α的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）作交于点P，交于点Q，连接，易得是平行四边形，再将表示为关于a的函数，利用配方法求最小值即可；

（2）取的中点G，连接、，根据二面角的平面角的定义可知即为二面角α的平面角，然后利用余弦定理求解即可.

解：（1）作交于点P，

交于点Q，连接，依题意可得，且，

即是平行四边形

∴. 由已知，，，

∴，

即

∴

（）

所以当，即M，N分别移动到，的中点时，的长取最小值；

（2）取的中点G，连接、，

∵，，

∴，，

∴即为二面角α的平面角.

又，

所以由余弦定理有.

故长最小时，面与面所成的二面角α的余弦值为.