Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是棱BC和CC₁的中点
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求证：平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

Answer 1

分析：（1）连接CD₁，交C₁D于点O，由E是BC的中点，知O是CD₁的中点，从而得到BD₁∥OE，由此能够证明BD₁∥平面C₁DE．
（2）由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，C₁E?面BCC₁B₁，知A₁B₁⊥C₁E，∠B₁C₁O₁=∠CEC₁，∠C₁B₁O₁=∠CC₁E，且B₁C₁=C₁C，从而Rt△B₁C₁P≌Rt△C₁CE，由此能够证明平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

解答：（1）证明：如图1，连接CD₁，交C₁D于点O，
∵E是BC的中点，O是CD₁的中点，
∴BD₁∥OE，
∵BD₁?平面C₁DE，OE?平面C₁DE，
由线面平行的判定定理知BD₁∥平面C₁DE．
（2）证明A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，C₁E?面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥C₁E，∠B₁C₁O₁=∠CEC₁，
∴∠C₁B₁O₁=∠CC₁E，且B₁C₁=C₁C，
从而Rt△B₁C₁P≌Rt△C₁CE，
∴C₁P=CE，C₁E⊥B₁P．
又∵A₁B₁∩B₁P=B₁，∴C₁E⊥平面A₁B₁P．
∵C₁E?平面C₁DE，
∴平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间想象能力的培养．