Question

【题目】函数，．

求的单调区间；

对，使成立，求实数m的取值范围；

设在上有唯一零点，求正实数n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）的递增区间是，，的递减区间是，；（2）（3）

【解析】

求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；问题等价于，，根据函数的单调性求出m的范围即可；求出函数的导数，通过讨论n的范围，得到函数的单调区间，从而确定n的范围即可．

，

当，

即时，

，递增，

当，

即时，

，递减，

综上，的递增区间是，，

的递减区间是，；

，

即，

设，

则问题等价于，，

一方面由可知，当时，，

故在递增，

，

另一方面：，

，

由于，

又，

当，，在递增，

，

故，；

，，

，

若，则，递增，

无零点，

若时，设，

则，

故递增，

，，

故存在，使得，

故时，，即，递减，

时，，即，递增，

故时，无零点，

当时，，，存在唯一零点，

综上，时，有唯一零点．