Question

设抛物线y2=2px(p＞0)被直线y=2x-4截得的弦AB长为3

5

．
（1）求此抛物线的方程；
（2）设直线AB上有一点Q，使得A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，求Q点坐标；
（3）在抛物线上求一点M，使M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小．

Answer 1

分析：（1）联立方程组，得

y2=2px y=2x-4

，整理得：2x²-（8+p）x+8=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

8+p

2

，x1x2=4，
由弦长AB=

(1+4)[( 8+p 2 )2-4×4]

=3

5

，能导出此抛物线的方程．
（2）设Q（x，y），由A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，知x=

x1+y1

2

=

8+2 2

2

=

5

2

，由此能求出Q点坐标．
（3）由M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小值是Q到准线的距离，知M点的纵坐标是y=1，由此能求出点M．

解答：解：（1）联立方程组，得

y2=2px y=2x-4

，整理得：2x²-（8+p）x+8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

8+p

2

，x1x2=4，
∴弦长AB=

(1+4)[( 8+p 2 )2-4×4]

=3

5

，
解得p=2或-18（舍），
所以此抛物线的方程：y²=4x．
（2）设Q（x，y），
∵A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，
∴x=

x1+y1

2

=

8+2 2

2

=

5

2

，
∴y=2×

5

2

-4=1，
∴Q(

5

2

，1)．
（3）∵M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小值是Q到准线的距离，
∴M点的纵坐标是y=1，
把y=1代入y²=4x，得x=

1

4

，
∴M(

1

4

，1)．

点评：本题考查抛物线方程和点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和抛物线性质的灵活运用．