Question

已知方程x²-kx+100=0，k∈C．
（1）若1+i是它的一个根，求k的值；
（2）若k∈N*，求满足方程的所有虚数的和．

Answer 1

分析：（1）先设出k的代数形式，把1+i代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应相等进行求值；
（2）由方程由虚根的条件△＜0，求出k的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特点，求出所有虚根之和．

解答：解：（1）设k=a+bi（a，b∈R），∵1+i是x²-kx+100=0的一个根，
∴（1+i）²-（a+bi）（1+i）+100=0，∴b-a+100+（2-a-b）i=0，
∴

b-a+100=0 2-a-b=0

，解得a=51，b=-49，∴k=51-49i，
（2）∵方程x²-kx+100=0有虚根，∴△=k²-4×100＜0，解得-20＜k＜20，
∴k∈N*，∴k=1，2，3…19，
又∵虚根是成对出现的，∴所有的虚根之和为1+2+…+19=190．

点评：本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程中虚根的特点．