Question

在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0恒过定点F．设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2+

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：x²+y²=r²（r＞0）与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置关系．

Answer 1

分析：（1）先将(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0转化为(

3

x+y-3)k+(x-

3

y-

3

)=0进而可求得F的坐标得到c的值，再由a+c=2+

3

可求出a的值，进而可得b的值，确定椭圆方程．
（2）先根据x²+y²=r²（r＞0）与椭圆C有4个相异公共点确定r的范围，再由（m，n）在椭圆C上可得到

m2

4

+n2=1和m的范围，圆心O到直线l₁的距离和圆心O到直线l₂的距离可判断直线l₁与l₂与圆O的关系．

解答：解：（1）(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0?(

3

x+y-3)k+(x-

3

y-

3

)=0，
解

3 x+y-3=0   x- 3 y- 3 =0

得F(

3

，  0)．
设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，
则由题设，知

c= 3 a+c=2+ 3

于是a=2，b²=1．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）因为圆O：x²+y²=r²（r＞0）与椭圆C有4个相异公共点，
所以b＜r＜a，即1＜r＜2．
因为点（m，n）是椭圆

x2

4

+y2=1上的点，
所以

m2

4

+n2=1，且-2≤m≤2．
所以

m2+n2

=

3 4 m2+1

∈[1，  2]．
于是圆心O到直线l₁的距离d1=

1

m2+n2

≤1＜r，
圆心O到直线l₂的距离d2=

4

m2+n2

≥2＞r．
故直线l₁与圆O相交，直线l₂与圆O相离．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和直线与圆的位置关系．