Question

(本小题满分12分)
如图，棱长为2的正方体中，Ｅ，Ｆ满足．

（Ⅰ）求证：EF//平面AB；
（Ⅱ）求证：EF；

Answer 1

(1)要证明线面平行，一般通过线线平行来证明，E、F分别为DD₁、BD的中点，则可知中位线性质则EF∥BD₁，进而根据线面平行的判定定理来证明。
(2)根据题意，由于AB⊥面BB₁C₁C　则可知AB⊥B₁C且有B₁C⊥BC₁，AB∥BC₁，那么得到B₁C⊥面ABC₁D，然后
结合线面垂直的性质定理来证明线线垂直。

试题分析：解：

⑴∵
∴E、F分别为DD₁、BD的中点…………2分
连结BD₁，则EF∥BD₁………………4分
又……………………5分
∴EF∥面ABC₁D₁……………………6分
⑵正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中
∵AB⊥面BB₁C₁C　　∴AB⊥B₁C…………8分
又正方形BB₁C₁C中，B₁C⊥BC₁，AB∥BC₁＝B……10分
∴B₁C⊥面ABC₁D₁
∴B₁C⊥BD₁
∵EF∥BD₁
∴EF⊥B₁C……………………12分
点评：解决空间中线线的平行和垂直的关键是对于线面的平行性质定理和线面的垂直的性质定理的熟练的运用，同时要结合平行的传递性来研究其它 的垂直问题。这类问题的解决一般要转化到一个平面中来分析，转化思想是立体几何的思想体现。中档题。