Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为________；计算=________．

Answer 1

    2012
分析：①由于f（x）=，f′（x）=3x²-3x+3，f″（x）=6x-3，由f″（x）=0可求得x=，f（）=1；
②设P（x₀，y₀）为曲线上任意一点，由于函数的对称中心为 ，故点P关于的对称点P′（1-x₀，2-y₀）也在曲线上，于是有f（1-x₀）=2-y₀．从而可求值．
解答：①∵f（x）=，
∴f′（x）=3x²-3x+3，f″（x）=6x-3，
由f″（x）=0得x=，
f（）=-×+3×-=1；
∴它的对称中心为；
②设P（x₀，y₀）为曲线上任意一点，
∵曲线的对称中心为 ；
∴点P关于的对称点P′（1-x₀，2-y₀）也在曲线上，
∴f（1-x₀）=2-y₀．
∴f（x₀）+f（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴=[]+[]+…+[]=2×1006=2012．
故答案为：；2012．
点评：本题考查实际问题中导数的意义，难点在于对“对称中心”的理解与应用，特别是：f（x₀）+f（1-x₀）=2的分析与应用，属于难题．