Question

设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：
①f（x）+f（-x）=0；
②f（x）=f（x+2）；
③当0≤x＜1时，f（x）=2^x-1．
则f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

)+f(2)+f(

5

2

)=（　　）

• A、1
• B、2(

  2

  -1)
• C、

  2

  -1
• D、3(

  2

  -1)

Answer 1

分析：由①②可知，f（x）是周期为2的奇函数，再利用③，将所求关系式中的f（

3

2

）、f（2）、f（

5

2

）转化为能求值的即可．

解答：解：∵f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
又f（x）=f（x+2），
∴f（x）是周期为2的函数，
∴f（-1）=f（-1+2）=f（1），
又f（-1）=-f（1），
∴f（1）=0；
又当0≤x＜1时，f（x）=2^x-1，
f（

3

2

）=f（

3

2

-2）=f（-

1

2

）=-f（

1

2

）；
同理可得，f（2）=f（0）=2⁰-1=0；
f（

5

2

）=f（

1

2

），
∴f（

1

2

）+f（1）+f（

3

2

）+f（2）+f（

5

2

）
=f（

1

2

）+0-f（

1

2

）+0+f（

1

2

）
=f（

1

2

）=

2

-1；
故选：C．

点评：本题考查函数的周期性与奇偶性，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．