设数列
的前
项和为
，且对任意的
，都有
，
．
（1）求
，
的值；
（2）求数列的通项公式
；
（3）证明：
．
（1）
（2）
（3）见解析
（1）解：当
时，有
，
由于，所以．
当
时，有
，即
，
将代入上式，由于，所以．
（2）解：由
，
得
， ①
则有
． ②
②－①，得
，
由于，所以
． ③
同样有
， ④
③－④，得
．
所以
．
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由于
，即当
时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
故．
（3）证明1：由于
，
，
所以
．
即
．
令
，则有
．
即
，
即
故．
证明2：要证，
只需证，
只需证，
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只需证
．
由于
．
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因此原不等式成立．
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
（09年长沙一中一模文）（13分） 设数列
的前
项和为
，且
，其中
为常数且
．
（１）证明：数列是等比数列；
（２）设数列的公比
，数列
满足
，
（
求数列的通项公式；
（３）设
，
，数列
的前项和为
，求证：当
时，
．
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科目：高中数学 来源：广东省佛山一中2010-2011学年高一下学期期末考试数学 题型：解答题
（本题满分14分）.设数列
的前
项和为
，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，数列
的前项和为
，求证：
．
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科目：高中数学 来源：2012-2013学年湖北省八校高三第二次联考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题
设数列
的前
项和为
，且满足
.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列的每两项之间按照如下规则插入一些数后，构成新数列：
与
两项之间插入个数，使这
个数构成等差数列，其公差为
，求数列
的前项和为
.
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年北京市海淀区高三5月查漏补缺数学试卷（解析版） 题型：解答题
设数列
的前
项和为
，且满足
.
（Ⅰ）求证：数列
为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式
；
（Ⅲ）若数列
是首项为1，公差为2的等差数列,求数列
的前项和为
.
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年新疆乌鲁木齐一中高三第一次月考文科数学试卷 题型：解答题
（本小题满分12分）设数列
的前
项和为
，且
对于
任意的正整数都成立，其中
为常数，且
（1）求证：数列是等比数列（4分）
（2）设数列的公比
，数列
满足：
，
）（
，
，求证：数列
是等差数列，并求数列
的前项和
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