Question

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx．（e≈2.71828）
（I）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））x=1处的切线为l，若l与圆(x-1)2+y2=

1

2

相切，求a的值；
（II）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（III）当a=-1时，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与Y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数求出切线的斜率，把x=1代入f（x）求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，然后找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于r列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（II）当x=0时，显然f（x）=e^x＞0恒成立；当x大于0时，令f（x）大于0，解出a大于一个函数，设这个函数为Q（x），求出Q（x）的导函数，分x大于0小于1和x大于1两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的增减性，根据函数的增减性得到Q（x）的最大值，即可得到a的取值范围；
（III）把f（x）和g（x）的解析式代入y中确定出y的解析式，设M（x）为y的解析式，求出M（x）的导函数，h（x）=

1

x

+lnx-1，求出h（x）的导函数，由x的范围得到导函数为正数，进而得到h（x）在[1，e]上为增函数，得到h（1）为最小值，即可得到M（x）的最小值，而曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，即切线的斜率为0，即导函数的值为0，与导函数的最小值为1矛盾，所以不存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

解答：解：（I）f′（x）=e^x+a，因此过点（1，f（1））的直线斜率为e+a，
又f（1）=e+a，∴过点（1，f（1））的直线方程为：y-（e+a）=（e+a）（x-1），
即（a+e）x-y=0，又已知圆的圆心为（1，0），半径为

1

2

，
依题意，则有

|a+e|

(e+a)2+1

=

1

2

，解得a=-e+1，a=-e-1；
（II）∵在x≥0时，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
若x=0，a为任意实数，f（x）=e^x＞0恒成立，
若x＞0，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，即a＞-

ex

x

在x＞0上恒成立，
设Q（x）=-

ex

x

，Q′（x）=-

exx-ex

x2

=

(1-x)ex

x2

，
当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，Q（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，Q′（x）＜0，Q（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，Q（x）取得最大值，Q（x）_max=Q（1）=-e，
∴要使x≥0时，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，a的取值范围是（-e，+∞）；
（III）依题意，曲线C的方程为：y=e^xlnx-e^x+x，
令M（x）=e^xlnx-e^x+x，则M′（x）=

ex

x

+e^xlnx-e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，
设h（x）=

1

x

+lnx-1，则h′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
当x∈[1，e]时，h′（x）≥0，故h（x）为增函数，
因此，h（x）在区间[1，e]上的最小值为h（1）=ln1=0，
则M′（x）≥1，即曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线的斜率k≥1，
故不存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握直线与圆的位置关系的判别方法，掌握导数在最大值、最小值中的运用，是一道中档题．