Question

20．P是抛物线y²=2x上一点，设M（m，0）（m＞0），求|PM|的最小值．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀）代入抛物线方程，进而表示出|PM|，分别看当0＜m＜1和m≥1时，根据函数的单调性求得|PM|的最小值．

解答 解：设P（x₀，y₀）（x₀≥0），则y₀²=2x₀，
∴|PM|=$\sqrt{（{x}_{0}-m）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$
=$\sqrt{{（{x}_{0}-m）}^{2}+2{x}_{0}}$=$\sqrt{{{[x}_{0}+（1-m）]}^{2}+2m-1}$．
∵m＞0，x₀≥0，
∴①当0＜m＜1时，1-m＞0，
此时有x₀=0时，
|PM|_min=$\sqrt{（{1-m）}^{2}+2m-1}$=m．
②当m≥1时，1-m≤0，
此时有x₀=m-1时，
|PM|_min=$\sqrt{2m-1}$．

点评 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生对抛物线与函数问题的综合理解．