Question

已知，a＞b＞c，若

3

是3^a与

1

3c

的等比中项，且λ≤

1

a-b

+

1

b-c

恒成立，则λ的最大值是

4

．

Answer 1

分析：根据

3

是3^a与

1

3c

的等比中项，由等比中项概念列式得到a-c=1，把

1

a-b

+

1

b-c

通分后运用基本不等式的性质求出其最小值，结合λ≤

1

a-b

+

1

b-c

恒成立可求λ的最大值．

解答：解：由

3

是3^a与

1

3c

的等比中项，得：3a•

1

3c

=(

3

)2=3，
即3^a-c=3，所以，a-c=1．
因为

1

a-b

+

1

b-c

=

b-c+a-b

(a-b)(b-c)

=

a-c

(a-b)(b-c)

=

1

(a-b)(b-c)

，
由a＞b＞c，所以a-b＞0，b-c＞0．
则0＜(a-b)(b-c)≤(

a-b+b-c

2

)2=(

a-c

2

)2=

1

4

，
所以

1

(a-b)(b-c)

≥4
即

1

a-b

+

1

b-c

≥4
又λ≤

1

a-b

+

1

b-c

恒成立，
所以λ≤4．
所以λ的最大值是4．
故答案为4．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了利用基本不等式求最值，想到把

1

a-b

+

1

b-c

通分计算是该题的突破点，此题是中档题．