在正项等比数列{an}中,a1=4,a3=64.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)记bn=log4an,求数列{bn}的前n项和Sn;
(3)记y=-λ2+4λ-m,对于(2)中的Sn,不等式y≤Sn对一切正整数n及任意实数λ恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)由a1=4,a3=64可求公比,根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式;
(2)由于bn=log4an=n,所以数列{bn}是首项b1=1,公差d=1的等差数列,故可求和;
(3)先求得Sn取得最小值Smin=1,要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立,即-λ2+4λ-m≤1,分离参数得m≥-λ2+4λ-1恒成立,故可求参数的范围.
解答:解:(1)∵
q2==16,解得q=4或q=-4(舍去)∴q=4…(2分)∴a
n=a
1q
n-1=4×4
n-1=4
n…(3分) (q=-4没有舍去的得2分)
(2)∵b
n=log
4a
n=n,…(5分)∴数列{b
n}是首项b
1=1,公差d=1的等差数列∴
Sn=…(7分)
(3)由(2)知,
Sn=,
当n=1时,S
n取得最小值S
min=1…(8分)
要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤S
n恒成立,即-λ
2+4λ-m≤1
即对任意实数λ,m≥-λ
2+4λ-1恒成立,∵-λ
2+4λ-1=-(λ-2)
2+3≤3,
所以m≥3,
故m得取值范围是[3,+∞).…(10分)
点评:本题主要考查等比数列的通项,等差数列的前n和,同时考查等价转化的数学思想,属于中档题