精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
在正项等比数列{an}中,a1=4,a3=64.
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)记bn=log4an,求数列{bn}的前n项和Sn
(3)记y=-λ2+4λ-m,对于(2)中的Sn,不等式y≤Sn对一切正整数n及任意实数λ恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)由a1=4,a3=64可求公比,根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式;
(2)由于bn=log4an=n,所以数列{bn}是首项b1=1,公差d=1的等差数列,故可求和;
(3)先求得Sn取得最小值Smin=1,要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立,即-λ2+4λ-m≤1,分离参数得m≥-λ2+4λ-1恒成立,故可求参数的范围.
解答:解:(1)∵q2=
a3
a1
=16
,解得q=4或q=-4(舍去)∴q=4…(2分)∴an=a1qn-1=4×4n-1=4n…(3分)  (q=-4没有舍去的得2分)
(2)∵bn=log4an=n,…(5分)∴数列{bn}是首项b1=1,公差d=1的等差数列∴Sn=
n(n+1)
2
…(7分)
(3)由(2)知,Sn=
n2+n
2

当n=1时,Sn取得最小值Smin=1…(8分)
要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立,即-λ2+4λ-m≤1
即对任意实数λ,m≥-λ2+4λ-1恒成立,∵-λ2+4λ-1=-(λ-2)2+3≤3,
所以m≥3,
故m得取值范围是[3,+∞).…(10分)
点评:本题主要考查等比数列的通项,等差数列的前n和,同时考查等价转化的数学思想,属于中档题
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

在正项等比数列{ an }中,若a2•a4•a6=8,则log2a5-
1
2
log2a6=(  )
A、
1
8
B、
1
6
C、
1
4
D、
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在正项等比数列an中,a1<a4=1,若集合A={n|(a1-
1
a1
)+(a2-
1
a2
)+…+(an-
1
an
)≤0,n∈N*}
,则集合A中元素的个数为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在正项等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4的值为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•楚雄州模拟)在正项等比数列{an}时,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8•a10•a12等于
64
64

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在正项等比数列{an}中,Sn为其前n项和,a3=2,S4=5S2,则a5=
8
8

查看答案和解析>>

同步练习册答案
关 闭