Question

3．已知：数列{a_n}，{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}{=\frac{2}{3}a}_{n-1}{+\frac{1}{3}b}_{n-1}}\\{{b}_{n}{=\frac{1}{3}a}_{n-1}{+\frac{2}{3}b}_{n-1}}\end{array}\right.$ （n≥2）且a₁=10，b₁=8，求a_n，b_n的通项公式．

Answer 1

分析 数列{a_n}，{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}{=\frac{2}{3}a}_{n-1}{+\frac{1}{3}b}_{n-1}}\\{{b}_{n}{=\frac{1}{3}a}_{n-1}{+\frac{2}{3}b}_{n-1}}\end{array}\right.$ （n≥2）且a₁=10，b₁=8，可得a₂，b₂，a₃，b₃．变形a_n-2b_n=$\frac{1}{3}{b}_{n-1}-\frac{4}{3}{b}_{n-1}$，可得a_n=2b_n+b_n-1，
当n≥3时，a_n-1=2b_n-1-b_n-2．代入化为b_n-b_n-1=$\frac{1}{3}（{b}_{n-1}-{b}_{n-2}）$，利用等比数列的通项公式可得b_n+1-b_n=2×$\frac{1}{{3}^{n}}$．再利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，同理可得a_n．

解答 解：∵数列{a_n}，{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}{=\frac{2}{3}a}_{n-1}{+\frac{1}{3}b}_{n-1}}\\{{b}_{n}{=\frac{1}{3}a}_{n-1}{+\frac{2}{3}b}_{n-1}}\end{array}\right.$ （n≥2）且a₁=10，b₁=8，
∴a₂=$\frac{28}{3}$，b₂=$\frac{26}{3}$，a₃=$\frac{82}{9}$，b₃=$\frac{80}{9}$．
a_n-2b_n=$\frac{1}{3}{b}_{n-1}-\frac{4}{3}{b}_{n-1}$，可得a_n=2b_n+$\frac{1}{3}{b}_{n-1}-\frac{4}{3}{b}_{n-1}$，
当n≥3时，a_n-1=2b_n-1-b_n-2．
∴b_n=$\frac{1}{3}（2{b}_{n-1}-{b}_{n-2}）$+$\frac{2}{3}{b}_{n-1}$，
化为b_n-b_n-1=$\frac{1}{3}（{b}_{n-1}-{b}_{n-2}）$，
∴数列{b_n-b_n-1}（n≥2）是等比数列，
首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×$\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2$（\frac{1}{{3}^{n-1}}+\frac{1}{{3}^{n-2}}+…+\frac{1}{3}）$+8
=$2×\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$+8=9-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．
当n≥2时，可得a_n=2b_n-b_n-1=$2（9-\frac{1}{{3}^{n-1}}）$-$（9-\frac{1}{{3}^{n-2}}）$=9+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．
当n=1时，上式也成立，∴a_n=9+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．