Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足2S_n+a_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=na_n，求证：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求得n=1时数列的首项，再求n＞1时，运用相减，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得c_n=na_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁，2S₁+a₁=1，
解得a₁=$\frac{1}{3}$；
当n＞1时，2S_n+a_n=1，可得2S_n-1+a_n-1=1，
即有2a_n+a_n=a_n-1，即为a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
则数列{a_n}为首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
即有a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ：
（2）证明：c_n=na_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{9}$+3•$\frac{1}{27}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$S_n=1•$\frac{1}{9}$+2•$\frac{1}{27}$+3•$\frac{1}{81}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{3}{2}$n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．