Question

（1）设x是正实数，求证：（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

Answer 1

证明：（1）∵x是正实数，由均值不等式知x+1≥2

x

，
1+x²≥2x，
x³+1≥2

x3

，
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）≥2

x

•2x•2

x3

=8x³（当且仅当x=1时等号成立）；
故（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³仍然成立，
当x＞0时，由（1）知不等式成立；
当x≤0时，8x³≤0，
∵（x³+1）=（x+1）（x²-x+1）
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）=（x+1）²（x²+1）（x²-x+1）
=（x+1）²（x²+1）[（x-

1

2

）²+

3

4

]≥0，
综上可知，此时不等式仍然成立．