Question

已知，如图：四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，
（1）求证：直线MN⊥直线AB；
（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角大小为θ，能否确定θ使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线，若能确定，求出θ的值，若不能确定，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意连接AN、BN、AC，由PA⊥面ABCD和三垂线定理得PA⊥AC、PB⊥BC，根据M、N是中点得AN=BN和MN⊥AB；
（2）假设MN是异面直线AB与PC的公垂线，得到MN⊥PC，由N是中点得CM=PM，证出△BCM≌△APM得DA=PA，根据二面角的定义和垂直关系证出∠PDA=θ，即求出此角的值．

解答：解：（1）证明：连接AN、BN、AC，
∵PA⊥面ABCD，且AC?面ABCD，
∴PA⊥AC，
∵N是PC的中点，
∴AN=

1

2

PC，
∵BC⊥AB，
∴由三垂线定理得PB⊥BC，得BN=

1

2

PC，
∴AN=BN，，∴MN⊥AB．

（2）解：假设MN是异面直线AB与PC的公垂线，则MN⊥PC，
连接CM、PM，由于N是PC的中点，∴CM=PM
∴△BCM≌△APM，∴BC=PA，∴DA=PA，
∵PA⊥面ABCD，平面ABCD是矩形，∴CD⊥面PAD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA为面PDC与面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PDA=θ，
∴当θ=

π

4

时，MN为异面直线AB与PC的公垂线．

点评：本题是关于线线（线面）垂直和二面角的综合题，主要利用等腰三角形和底边的中点和线面垂直的定义证出线线垂直，实现线线、线面垂直的相互转化，考查了推理论证和逻辑思维能力．