给定椭圆:,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
(ⅰ)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程,
并证明;
(ⅱ)求证:线段的长为定值.
(1),,(2)(ⅰ),(ⅱ)详见解析.
解析试题分析:(1)求椭圆方程,利用待定系数法,列两个独立方程就可解出因为短轴上的一个端点到的距离为,所以而所以再根据“准圆”定义,写出“准圆”方程.(2)(ⅰ)直线与椭圆相切问题,通常利用判别式为零求切线方程,利用点斜式设直线方程,与椭圆方程联立消得关于的一元二次方程,由判别式为零得斜率,即证得两直线垂直.(ⅱ)本题是(ⅰ)的一般化,首先对斜率是否存在进行讨论,探讨得斜率不存在时有两直线垂直,即将问题转化为研究直线是否垂直问题,具体就是研究是否成立.研究思路和方法同(ⅰ),由于点坐标在变化,所以由判别式为零得关于点坐标的一个等式:,即,而这等式对两条切线都适用,所以的斜率为方程两根,因此.当垂直时,线段为准圆的直径,为定值4.
试题解析:解:(1),
椭圆方程为, 2分
准圆方程为. 3分
(2)(ⅰ)因为准圆与轴正半轴的交点为,
设过点且与椭圆相切的直线为,
所以由得.
因为直线与椭圆相切,
所以,解得, 6分
所以方程为. 7分
,. 8分
(ⅱ)①当直线中有一条斜率不存在时,不妨设直线斜率不存在,
则:,
当:时,与准圆交于点,
此时为(或),显然直线垂直;
同理可证当:时,直线垂直. 10分
②当斜率存在时,设点,其中.
设经过点与椭圆相切的直线为
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已知抛物线C:,点A、B在抛物线C上.
(1)若直线AB过点M(2p,0),且=4p,求过A,B,O(O为坐标原点)三点的圆的方程;
(2)设直线OA、OB的倾斜角分别为,且,问直线AB是否会过某一定点?若是,求出这一定点的坐标,若不是,请说明理由.
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已知椭圆的焦距为,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)设斜率为的直线与相交于、两点,记面积的最大值为,证明:.
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已知椭圆:的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为,是椭圆上异于的任意一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值.
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已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值?
若是,求出m+n的值;否则,说明理由.
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如图,已知点是离心率为的椭圆:上的一点,斜率为的直线交椭圆于,两点,且、、三点互不重合.
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
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在平面直角坐标系中,点P到两圆C1与C2的圆心的距离之和等于4,其中C1:,C2:. 设点P的轨迹为.
(1)求C的方程;
(2)设直线与C交于A,B两点.问k为何值时?此时的值是多少?
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已知曲线E:ax2+by2=1(a>0,b>0),经过点M的直线l与曲线E交于点A、B,且=-2.
(1)若点B的坐标为(0,2),求曲线E的方程;
(2)若a=b=1,求直线AB的方程.
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已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点M(2,t)(t>0)在直线x=(a为长半轴,c为半焦距)上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值.
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