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4.已知动点P(x,y)到定点F(0,1)的距离与动点P(x,y)到定直线l:y=3的距离之和为4,若动点P的轨迹为曲线C.垂直于x轴的直线与曲线C交于相异两点A、B.
(1)求曲线C的方程;
(2)判断△ABF的周长是否为定值.

分析 (1)由题设条件动点P(x,y)到定点F(0,1)的距离与动点P(x,y)到定直线l:y=3的距离之和为4,由此等量关系建立方程求得动点P的轨迹方程;
(2)直线x=a(-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$),代入曲线C,不妨设A(a,4-$\frac{{a}^{2}}{12}$),B(a,$\frac{{a}^{2}}{4}$),则|AF|=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1,|BF|=7-(4-$\frac{{a}^{2}}{12}$),|AB|=4-$\frac{{a}^{2}}{12}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$,即可得出结论.

解答 解:(1)设P(x,y),由题意有$\sqrt{{x}^{2}+(y-1)^{2}}$+|y-3|=4
当y≥3时,有$\sqrt{{x}^{2}+(y-1)^{2}}$+y-3=4,整理得x2=-12(y-4);
当y<3时,有$\sqrt{{x}^{2}+(y-1)^{2}}$+3-y=4,整理得x2=4y;
(2)直线x=a(-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$),代入曲线C,不妨设A(a,4-$\frac{{a}^{2}}{12}$),B(a,$\frac{{a}^{2}}{4}$),则
|AF|=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1,|BF|=7-(4-$\frac{{a}^{2}}{12}$),|AB|=4-$\frac{{a}^{2}}{12}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$,
∴△ABF的周长是4-$\frac{{a}^{2}}{12}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-1+7-(4-$\frac{{a}^{2}}{12}$)=6是定值.

点评 本题以轨迹方程为载体,考查求轨迹方程,同时考查直线与曲线的位置关系.解题的关键是理解题意,找出等量关系,从而建立起关于动点P的坐标的方程,这是求轨迹方程时常用方法,也是一个常规方法,应总结此方法的步骤规律.

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