Question

19．如图所示，棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，且AC=C₁C，其中点F，D分别为AC₁，B₁B的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：DF⊥平面ACC₁．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明DF∥平面ABC；
（2）根据线面垂直的判定定理即可证明DF⊥平面ACC₁．

解答 （1）证明：取AC的中点O，连结BO．
在△ACC₁中，FO∥C₁C，FO=$\frac{1}{2}$C₁C，
又据题意知，BD∥C₁C，BD=$\frac{1}{2}$C₁C，
∴FO∥BD，FO=BD，
∴四边形FOBD为平行四边形．（4分）
∴DF∥OB，
又DF?平面ABC，OB?平面ABC．
∴DF∥平面ABC．           （6分）
（2）证明：∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，
又∵BO?平面ABC，
∴BO⊥C₁C；      （8分）
∵△ABC是正三角形且AO=OC，
∴BO⊥AC，（10分）
∵BO⊥C₁C，BO⊥AC且AC∩C₁C=C，
AC．C₁C?平面AC₁C，
∴BO⊥平面A  C₁C，（11分）
又∵FD∥BO，
∴DF⊥平面A C₁C．        （12分）

点评 本题考查线线，线面关系和二面角的求解，考查学生空间思维能力和综合分析能力等