Question

（2013•南充一模）对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，定义y=f″（x）是函数y=f′（x）的导函数．若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．根据这一发现，对于函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x+

1

12

+

1

x- 1 2

，则g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)的值为

3018

．

Answer 1

分析：利用导数求出函数拐点，再利用拐点的意义及中心对称的性质即可得出．

解答：解：令h（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x+

1

12

，则h^′（x）=x²-x+3，h^″（x）=2x-1，
令h^″（x）=0，解得x=

1

2

，又h(

1

2

)=

3

2

，∴函数h（x）的拐点为(

1

2

，

3

2

)，即为函数h（x）的对称中心．．
∴h(

1

2013

)+h(

2012

2013

)=2h(

1

2

)=3．
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=3×1006=3018．
设u（x）=

1

x- 1 2

，可知其图象关于点(

1

2

，0)中心对称．
∴u(

1

2013

)+u(

2012

2013

)=0=u(

2

2013

)+u(

2011

2013

)=…，
∴u(

1

2013

)+u(

2

2013

)+…+u(

2012

2013

)=0．
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=3018．
故答案为3018．

点评：熟练掌握函数导数的运算性质及拐点的意义及中心对称的性质是解题的关键．