Question

设f（x）是定义在实数集R上的函数且满足f（x+2）=f（x+1）-f（x）．已知f（1）=lg

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，f（2）=lg15．
（1）通过计算f（3），f（4），…，由此猜测函数的周期T，并据周期函数的定义给出证明；
（2）求f（2009）的值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x+2）=f（x+1）-f（x），f（1）=lg

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，f（2）=lg15，可求出f（3），f（4），…，由此猜测函数的周期T，然后证明即可；
（2）根据周期性可知f（2009）=f（6×334+5）=f（5），从而求出所求．

解答：解（1）f（1）=lg

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f（2）=lg15
f（3）=f（2）-f（1）=lg15-（lg3-lg2）=lg5+lg2=1   
f（4）=f（3）-f（2）=1-lg15       …+3
f（5）=f（4）-f（3）=1-lg15-1=-lg15     …+4
f（6）=f（5）-f（4）=-lg15-（1-lg15）=-1  …+5
f（7）=f（6）-f（5）=-1+lg15=lg

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…+6
猜测：T=6            …+7
证明：f（x+2）=f（x+1）-f（x）
f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x）-f（x+1）=-f（x）
f（x+6）=-f（x+3）=f（x）
所以 f（x）是一个周期为6的函数
（2）因为f（2009）=f（6×334+5）=f（5）=-lg15

点评：本题主要考查了函数的周期，以及递推关系和猜测与证明，同时考查了计算能力，属于中档题．