Question

如图1-3-15，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点.求证:BP²=PE·PF.

图1-3-15

Answer 1

思路分析:因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC的中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了.

证明：连结PC，在△ABC中，∵AB=AC，D为BC的中点，

∴AD垂直平分BC.∴PB=PC.∴∠1=∠2.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.∴∠3=∠4.

∵CF∥AB，∴∠3=∠F.∴∠4=∠F.

又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC.

∴.∴PC²=PE·PF.

∵PC=PB，∴PB²=PE·PF.（等线段代换）.