Question

已知函数f（x）=xlg（x+

1+x2

）且f（2-a）＜f（-1），则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：先求出函数的定义域，利用对数的运算和分子有理化化简f（-x），判断出函数的奇偶性，再由对数函数的单调性判断出此函数的单调性，根据偶函数的性质、单调性，将不等式转化为关于a的不等式，最后求出a的范围．

解答： 解：由题意得，函数f（x）的定义域是R，
且f（-x）=-xlg（-x+

1+x2

）=-xlg

1

x+ 1+x2

=xlg（x+

1+x2

）=f（x），
所以函数f（x）是偶函数，
由对数函数的单调性知，当x＞0时，函数f（x）是增函数，
所以当 x＜0时，函数f（x）是减函数，
由f（2-a）＜f（-1）得，|2-a|＜|-1|=1
即-1＜2-a＜1，解得1＜a＜3，
所以a的取值范围是（1，3），
故答案为：（1，3）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性的判断，对数函数的单调性，以及对数的运算，属于中档题．