Question

已知函数f（x）=

ex-ex+x-1

x2-x

（0＜x＜1），当x∈（0，1）时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：函数f（x）可化为f（x）=

ex-1 x -(e-1)

x-1

可看作两点A（1，e-1），B（x，

ex-1

x

）的斜率．由于0＜x＜1，则令g（x）=

ex-1

x

，求出g（x）的导数，判断导数符号，确定单调性，进而求出g（x）的值域，再由两点的斜率公式即可得到f（x）的值域．

解答： 解：∵f（x）=

ex-ex+x-1

x2-x

（0＜x＜1）
∴f（x）=

ex-1 x -(e-1)

x-1

可看作两点A（1，e-1），B（x，

ex-1

x

）的斜率．
由于0＜x＜1，则令g（x）=

ex-1

x

，g′（x）=

ex•x-(ex-1)

x2

，
令h（x）=e^x•x-e^x+1，h′（x）=e^x•x＞0，h（x）递增，
h（x）＞1，g′（x）＞0，g（x）递增．
由于e^x-x-1的导数为e^x-1，x＞0递增，x＜0递减，则e^x≥x+1，
当x→0时，g（x）→1，
则有1＜g（x）＜e-1，
由（0，1）和（1，e-1）的斜率为e-2，
再由g（x）在x=1处的切线的斜率为e-（e-1）=1，
则f（x）的值域为（e-2，1）．

点评：本题考查函数的值域的求法，考查函数的导数的运用：求切线斜率和求单调区间、最值，考查两点的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．