Question

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
（1）求证：EF⊥平面BCE；
（2）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：P M∥平面BCE；
（3）求二面角F-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．我们易根据面面垂直的性质，线面垂直的性质及等腰三角形的性质，得到BC⊥EF，FE⊥EB，结合线面垂直的判定定理得到EF⊥平面BCE；
（2）以A为坐标原点，AD，AB，AE方向分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，分别求出直线P M的方向向量及平面BCE的法向量，根据两个向量数量积为0，得到两个向量相互垂直，进而得到P M∥平面BCE；
（3）分别求出平面BDF及平面ABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角F-BD-A的余弦值．

解答：解：（1）∵正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，
∴BC⊥平面ABEF，
又由EF?平面ABEF
∴BC⊥EF
又∵△ABE是等腰直角三角形，FA=FE，∠AEF=45°
∴∠FEB=90°，即FE⊥EB
又∵EB∩BC=B
∴EF⊥平面BCE；
（2）以A为坐标原点，AD，AB，AE方向分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，
令正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），F（0，-1，1），P（2，1，0），M（0，0，1）
则

PM

=（-2，-1，1），

EF

=（0，-1，-1）为平面BCE的一个法向量，
∵

PM

•

EF

=0
∴P M∥平面BCE
（3）设平面FBD的一个法向量

n

=(x，y，z)
则

n • BD =0 n • BF =0

，即

2x-2y=0 -3y+z=0

仅x=1，则平面FBD法向量

n

=(1，1，3)
又∵

AE

=（0，0，2）为平面ABCD的一个法向量
令二面角F-BD-A的平面角为θ
则cosθ=

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点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是，熟练掌握面面垂直，线面垂直，线线垂直之间的相互转化，（2），（3）的关键是建立空间坐标系，将线面平行及二面角问题转化为向量的夹角问题．