Question

【题目】已知椭圆 的离心率 ，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，

依题意可得： ，

解得：a2=3，b=1，

∴椭圆的方程为

（2）解：假设存在这样的值．

，

得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

则

而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，

要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），

当且仅当CE⊥DE时，

则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，

∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③

将②代入③整理得k= ，

经验证k= 使得①成立综上可知，存在k= 使得以CD为直径的圆过点E

【解析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得： ，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值． ，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．