Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，

Sn

n

）都在函数f（x）=x+

an

2x

的图象上．
（1）计算a₁，a₂，a₃，并归纳出数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列{

an-1

an

}的前n项积，若不等式A_n

an+1

＜f（a）-

an+3

2a

对一切n∈N^*都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

Sn

n

=n+

an

2n

即Sn=n2+

1

2

an．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a₁，a₂，a₃，进而猜想a_n
（2）由a_n=2n可得数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求
（3）因为

an-1

an

=1-

1

an

，An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

f(a)-

an+3

2a

=a+

an

2a

-

an+3

2a

=a-

3

2a

，若(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

＜a-

3

2a

成立
设g(n)=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

，则只需[g(n)]max＜a-

3

2a

即可利用g（n）的单调性可求其最大值
，从而可求a的范围

解答：解：（1）因为点(n，

Sn

n

)在函数f(x)=x+

an

2x

的图象上，
故

Sn

n

=n+

an

2n

，所以Sn=n2+

1

2

an．
令n=1，得a1=1+

1

2

a1，所以a₁=2；
令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，所以a₂=4；
令n=3，得a1+a2+a3=9+

1

2

a3，所以a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
（2）因为a_n=2n（n∈N^*），所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以 b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010
（3）因为

an-1

an

=1-

1

an

，故An=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)，
所以An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

．
又f(a)-

an+3

2a

=a+

an

2a

-

an+3

2a

=a-

3

2a

，
故An

an+1

＜f(a)-

an+3

2a

对一切n∈N^*都成立，就是(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

＜a-

3

2a

对一切n∈N^*都成立．
设g(n)=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

，则只需[g(n)]max＜a-

3

2a

即可．
由于

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

an+1

)•

2n+3

2n+1

=

2n+1

2n+2

•

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1，
所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是[g(n)]max=g(1)=

3

2

．
令

3

2

＜a-

3

2a

，即 

(a- 3 )(2a+ 3 )

a

＞0，解得-

3

2

＜a＜0，或a＞

3

．
综上所述，使得所给不等式对一切n∈N^*都成立的实数a的取值范围是(-

3

2

，0)∪(

3

，+∞)．

点评：本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查