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    已知函数f(x)=x3-xn2++且存在x0∈(0,),使f(x0)=x0.

    (1)证明f(x)是R上的单调增函数;

    设

    其中,n=1,2,….

    (2)证明xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn;

    (3)证明.

    思路分析:本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

    证明:(1)∵f′(x)=3x2-2x+=3(x-)2+＞0,

    ∴f(x)是R上的单调增函数.

    (2)∵0＜x0＜,即x1＜x0＜y1.

    又f(x)是增函数,∴f(x1)＜f(x0)＜f(y1),即x2＜x0＜y2.

    又x2=f(x1)=f(0)=＞0=x1,y2=f(y1)=f()=＜=y1,综上,x1＜x2＜x0＜y2＜y1.

    用数学归纳法证明如下:

    ①当n=1时,上面已证明成立.

    ②假设当n=k(k≥1)时,有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk.

    当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)＜f(xk+1)＜f(x0)＜f(yk+1)＜f(yk),

    ∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1.

    由①②知对一切n=1,2,…,都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn.

    (3)=yn2+xnyn+xn2-(yn+xn)+≤(yn+xn)2-(yn+xn)+

    =［(yn+xn)-］2+.

    由(2)知0＜yn+xn＜1.

    ∴-＜yn+xn-＜.

    ∴＜()2+=.

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    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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