Question

有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5 cm，灯丝距顶面距离为2.8 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳？试求这个曲线方程．

Answer 1

分析：采用椭圆旋转而成的曲面，效果最佳，如图建立平面直角坐标系，设出椭圆的方程，根据灯丝距顶面距离为p，根据椭圆的性质可知|F₁F₂|=2c，且△BF₁F₂为直角三角形，利用勾股定理即可表示出|BF₂|的长，然后根据椭圆的定义可知|F₁B|+|F₂B|=2a，即可求出a与b的值，代入设出的椭圆方程即可确定出解析式．

解答：解：采用椭圆旋转而成的曲面，
如图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分，
设其方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
灯丝距顶面距离为p，由于△BF₁F₂为直角三角形，
因而，|F₂B|²=|F₁B|²+|F₁F₂|²=p²+4c²，由椭圆性质有|F₁B|+|F₂B|=2a，
所以a=

1

2

（p+

p2+4c2

）=

1

2

（2.8+

2.82+4.52

）≈4.05cm，b=

a2-c2

≈3.37m．
∴所求方程为

x2

4.052

+

y2

3.372

=1．

点评：此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．