Question

（1+2x²）（x-

1

x

）⁸的展开式中常数项为

 

．

Answer 1

分析：将问题转化成(x-

1

x

)8的常数项及含x^-2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，-2求出常数项及含x^-2的项，进而相加可得答案．

解答：解：先求(x-

1

x

)8的展开式中常数项以及含x^-2的项；
Tr+1=

C

r 8

x8-r(-

1

x

)r=

C

r 8

(-1)rx8-2r
由8-2r=0得r=4，由8-2r=-2得r=5；
即(x-

1

x

)8的展开式中常数项为C₈⁴，
含x^-2的项为C₈⁵（-1）⁵x^-2
∴(1+2x2)(x-

1

x

)8的展开式中常数项为C₈⁴-2C₈⁵=-42
故答案为-42

点评：本题考查数学的等价转化能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．