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已知实数q≠0,数列{an}的前n项和Sn,a1≠0,对于任意正整数m,n且m>n,Sn-Sm=qmSn-m恒成立.
(1)证明数列{an}是等比数列;
(2)若正整数i,j,k成公差为3的等差数列,Si,Sj,Sk按一定顺序排列成等差数列,求q的值.
(1)令m=1,Sn-a1=qSn-1,Sn+1-a1=qSn,两式相减得:an+1=qan(n≥2),
令n=1,a2=qa1,所以数列{an}是等比数列,
(2)不妨设公差为3的等差数列为 i,i+3,i+6,若Si,Si+3,Si+6成等差数列,
则 ai+1+ai+2+ai+3=ai+4+ai+5+ai+6=( ai+1+ai+2+ai+3 )q3
即 1=q3,解得 q=1.
若Si+3,Si,Si+6成等差数列,则-( ai+1+ai+2+ai+3 )=( ai+1+ai+2+ai+3+ai+4+ai+5+ai+6 ),
∴2( ai+1+ai+2+ai+3 )+( ai+1+ai+2+ai+3 )q3=0,即 2+q3=0,解得 q=-
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若Si+3,Si+6,Si成等差数列,则有 ( ai+4+ai+5+ai+6)=-( ai+1+ai+2+ai+3+ai+4+ai+5+ai+6 ),
∴2( ai+1+ai+2+ai+3 )q3+( ai+1+ai+2+ai+3 )=0,∴2q3+1=0,解得q=-
1
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综上可得,q的值等于1,或等于-
32
,或等于-
1
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知实数q≠0,数列{an}的前n项和Sn,a1≠0,对于任意正整数m,n且m>n,Sn-Sm=qmSn-m恒成立.
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