Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

1

2

，一个顶点的坐标为(0，

3

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点且

AM

•

AN

=0，试问：是否存在实数λ，使得S_△FMN=λS_△AMN成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵e=

c

a

=

1

2

，b=

3

，
∴a²-c²=3，解得：a=2．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．------------------（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，
∴3+4k²-m²＞0．
⇒x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1•x2=

4(m2-3)

3+4k2

．
y1•y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

．
∵A（2，0），
∴

AM

•

AN

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，
∴7m²+16mk+4k²=0，解得m1=-2k，m2=-

2k

7

，且满足3+4k²-m²＞0．
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m=-

2k

7

时，l：y=k(x-

2

7

)，直线过定点P(

2

7

，0)．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为P(

2

7

，0)．
F（-1，0），S_△FMN：S_△AMN=|PF|：|AP|=3：4.S△FMN=

3

4

S△AMN．
∴存在λ=

3

4

，使得S△FMN=

3

4

S△AMN．------------------（12分）