Question

如图所示，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC．AC=BC=CC₁=2．
（1）若点D、E、F分别为棱CC₁、C₁B₁、CA的中点，求证：EF⊥平面A₁BD；
（2）请根据下列要求设计切割和拼接方法：要求用平行于三棱柱A₁B₁C₁-ABC的某一条侧棱的平面去截此三棱柱，切开后的两个几何体再拼接成一个长方体．简单地写出一种切割和拼接方法，
并写出拼接后的长方体的表面积（不必写出计算过程）．

Answer 1

分析：（1）连接C₁F，由已知中AA₁⊥底面ABC，由线面垂直的性质得到AA₁⊥AC，然后证得Rt△C₁CF≌Rt△A₁C₁D，进而A₁C₁⊥B₁C₁，由线面垂直的性质定理证得B₁C₁⊥平面AA₁CC₁后，可得B₁C₁⊥A₁D，进而可得EF?平面C₁FE，即A₁D⊥EF．同理可证BD⊥EF．最终再由线面垂直的判定定理得到EF⊥平面A₁BD；
（2）我们可以分别以C₁B₁、A₁B₁、AB、CB的中点E、G、M、N所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体；也可以分别以A₁B₁、AB的中点分别为M、N，以四点C₁、M、N、C所确定的平面为截面，把三棱柱A₁B₁C₁-ABC切开后的两个几何体再拼接成一个长方体．分别求出正方体的长宽高，即可求出其表面积．

解答：证明：连接C₁F，∵AA₁⊥底面ABC，AC?平面ABC，
∴AA₁⊥AC．
∵AC=CC₁=2，D、F分别为棱CC₁、CA的中点，
∴CF=DC₁=1，A₁C₁=CC₁=2．
∵∠C₁CF=∠A₁C₁D=90°，
∴Rt△C₁CF≌Rt△A₁C₁D．
∴∠CC₁F=∠DA₁C₁．
∵∠DA₁C₁+∠A₁DC₁=90°，
∴∠DC₁F+∠A₁DC₁=90°，
∴A₁D⊥C₁F．
∵AC⊥BC，
∴A₁C₁⊥B₁C₁，
∵B₁C₁⊥AA₁，AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁C₁⊥平面AA₁CC₁．
∴B₁C₁⊥A₁D．
∵B₁C₁∩C₁F=C₁，
∴A₁D⊥平面C₁FE．
∵EF?平面C₁FE，
∴A₁D⊥EF．同理可证BD⊥EF．
∵A₁D∩BD=D，
∴EF⊥平面A₁BD；
（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以C₁B₁、A₁B₁、AB、CB的中点E、G、M、N所确定的平面为截面，
把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体
（该长方体的一个底面为长方形C₁EE′A₁如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16．

            图甲                                       图①

切割拼接方法二：如图乙所示，设A₁B₁、AB的中点分别为M、N，以四点C₁、M、N、C所确定的平面为截面，
把三棱柱A₁B₁C₁-ABC切开后的两个几何体再拼接成一个长方体
（该长方体的一个底面为正方形C₁MA₁M′），此时所拼接成的长方体的表面积为4+8

2

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱柱的体积，其中（1）的关键是要熟练空间中线线垂直与线面垂直之间的相互转化关系，（2）的关键是根据棱柱的结构特征，寻找出合适的拼接方法．