Question

11．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（0）=5，x＞0时，f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）求当x≤0时．f（x）的解析式；
（2）请写出函数f（x）的单调区间（不需证明）；
（3）当x∈[-1，t]时，函数f（x）的取值范围是[5，+∞），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件，可设x＜0，-x＞0，从而带入x＞0的解析式便可得到f（-x）=$-x-\frac{4}{x}$=f（x），再由f（0）=5便可写出x≤0时的f（x）解析式；
（2）可描点画出f（x）的图象，根据图象即可得出f（x）的单调区间；
（3）先求出f（-1）=f（1）=5，根据f（x）在（-2，0）和（0，2）的单调性及f（0）=5即可得出t需满足0≤t≤1，这样便得出了实数t的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）为偶函数，设x＜0，则-x＞0；
∴f（-x）=$-x-\frac{4}{x}=f（x）$；
又f（0）=5；
∴x≤0时的f（x）的解析式为：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{5}&{x=0}\\{-x-\frac{4}{x}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）f（x）的单调增区间为：（-2，0），（2，+∞），单调递减区间为：（-∞，-2），（0，2）；
（3）x=-1时，f（x）=5，x从左边趋向0时，f（x）趋向正无穷；
又f（0）=5，f（x）在（0，2）上递减，f（1）=5；
又x∈[-1，t]时，f（x）的值域为[5，+∞）；
∴0≤t≤1；
∴实数t的取值范围为：[0，1]．

点评 考查偶函数的定义，根据函数奇偶性求函数在对称区间上解析式的方法和过程，根据函数图象判断函数单调性的方法，根据函数单调性，由值域求定义域的方法．