Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．
（1）若椭圆C₁过点（

2

，0）和（0，2），求椭圆C₁的标准方程；
（2）试判断命题“若椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C₁恒过定点”的真假．若命题为真命题，求出定点坐标，若为假命题，说明理由．

Answer 1

（1）因为2＞

2

，所以椭圆的焦点在y轴上
所以椭圆C₁的标准方程为

x2

2

+

y2

4

=1
（2）命题“若椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，
且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C₁恒过定点”的真命题．
设椭圆C₁：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），设P（s，t）为圆C₂上任意一点，
则过点P的圆C₂的切线方程为sx+ty=1
因为椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点A、B，不妨设t≠0
由

mx2+ny2=1 sx+ty=1

得（mt²+ns²）x²-2nsx+n-t²=0
∵OA⊥OB，根据根与系数的关系建立等式，
∴m+n-1=0
所以满足椭圆的方程mx²+（1-m）y²=1（0＜m＜1且m≠

1

2

）
即m（x²-y²）+y²-1=0对任意0＜m＜1且m≠

1

2

均成立
所以

x2-y2=0 y2-1=0

即x²=y²=1
所以，满足条件的椭圆C₁恒过定点（1，1），（-1，1），（1，-1），（-1，-1）