Question

设函数f(x)＝ax²＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b，求证：
(1)a＞0，且－3＜＜－；
(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
(3)设x₁，x₂是函数f(x)的两个零点，则≤|x₁－x₂|＜.

Answer 1

（1）－3＜＜－（2）函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．（3）见解析

(1)由已知得f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，
又3a>2c>2b，∴a＞0，b＜0.
又2c＝－3a－2b，∴3a＞－3a－2b＞2b，
∵a＞0，∴－3＜＜－.
(2)由已知得f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，
①当c＞0时，f(0)＝c＞0，f(1)＝－＜0，
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点；
②当c≤0时，f(1)＝－＜0，f(2)＝a－c＞0，
∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．
综上所述，函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
(3)∵x₁，x₂是函数f(x)的两个零点，
∴x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝＝－－，
∴|x₁－x₂|＝＝，
∵－3＜＜－，∴≤|x₁－x₂|＜.