Question

直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²-4y²=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为

 

．

Answer 1

分析：设出椭圆方程，P的坐标，使椭圆与直线相切．由此入手能够求出具有最短长轴的椭圆方程．

解答：解：设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1 a＞b＞0
c=1，a²-b²=c²=1
设P的坐标为：﹙m．m+3﹚P在椭圆上

m2

a2

+

(m+3)2

a2-1

=1，
﹙a²-1﹚m²+a²﹙m²+6m+9﹚=a²﹙a²-1﹚=﹙a²﹚²-a²
﹙2a²-1﹚m²+6a²m+10a²-﹙a²﹚²=0
△=﹙6a²﹚²-﹙8a²-4﹚﹙10a²-a⁴﹚≥0
36a⁴-80a⁴++40a²+8a⁶-4a⁴≥0
-48a²+40+8a⁴≥0，a⁴-6a²+5≥0
﹙a²-5﹚﹙a²-1﹚≥0
a²≤1或 a²≥5
∵c²=1，a²＞c²
∴a²≥5，长轴最短，即a²=5
b²=a²-1=4
所以：所求椭圆方程为：

x2

5

+

y2

4

=1．
故答案为：

x2

5

+

y2

4

=1．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．