Question

11．已知函数f（x）=（mx+1）（1nx-3）．
（1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；
（2）由题意可得f′（x）=m（lnx-3）+（mx+1）•$\frac{1}{x}$≥0在（0，+∞）恒成立．即有mx（lnx-2）+1≥0，对m讨论，m=0，m＜0，m＞0，运用参数分离和构造函数g（x）=x（lnx-2），求出导数，判断单调性，可得最值，进而解得m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（x+1）（1nx-3）的导数为
f′（x）=lnx-3+（x+1）•$\frac{1}{x}$=lnx-2+$\frac{1}{x}$，
y=f（x）在x=1处的切线斜率为-1，切点为（1，-6），
则y=f（x）在x=1处的切线的方程为y+6=-（x-1），
即为x+y+5=0；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
即为f′（x）=m（lnx-3）+（mx+1）•$\frac{1}{x}$≥0在（0，+∞）恒成立．
即有mx（lnx-2）+1≥0，
当m=0时，显然成立；
当m＞0时，x（lnx-2）≥-$\frac{1}{m}$，由g（x）=x（lnx-2）的导数g′（x）=lnx-1，
当x＞e时，g（x）递增；当0＜x＜e时，g（x）递减．
则x=e处取得极小值，且为最小值-e，
则-e≥-$\frac{1}{m}$，解得0＜m≤$\frac{1}{e}$；
当m＜0时，x（lnx-2）≤-$\frac{1}{m}$，
由g（x）=x（lnx-2）有最小值，无最大值，故不成立．
综上可得，m的取值范围是[0，$\frac{1}{e}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，属于中档题．