Question

18、一个盒子装有七张卡片，上面分别写着七个定义域为R的函数：f₁（x）=x³，f₂（x）=x²，f₃（x）=x，f₄（x）=cosx，f₅（x）=sinx，f₆（x）=2-x，f₇（x）=x+2．从盒子里任取两张卡片：
（1）至少有一张卡片上写着奇函数的取法有多少种？（用数字表示）
（2）两卡片上函数之积为偶函数的取法有多少种？（用数字表示）

Answer 1

分析：（1）事件“至少有一张卡片上写着奇函数”包含两种情况①只一张卡片上写着奇函数的取法有C₃¹×C₄¹=12种；②两张卡片均写着奇函数的取法有C₃²=3种，根据分类加法原理即可求得结果；
（2）事件“两卡片上函数之积为偶函数”包含三种情况①两偶函数之积为偶函数，其取法有C₂²=1种，②两奇函数之积为偶函数，其取法有C₃²=3种，③特殊情况f₆（x）=2-x与f₇（x）=x+2之积为偶函数，取法是1种，根据分类加法原理即可求得结果．

解答：解：（1）奇函数有：f₁（x）=x³，f₃（x）=x，f₅（x）=sinx
偶函数有：f₂（x）=x²，f₄（x）=cosx
非奇非偶函数有：f₆（x）=2-x，f₇（x）=x+2
只一张卡片上写着奇函数的取法有C₃¹×C₄¹=12种
至少有一张卡片上写着奇函数的取法有15种
（2）两偶函数之积为偶函数的取法有C₂²=1种
两奇函数之积为偶函数的取法有C₃²=3种，f₆（x）=2-x与f₇（x）=x+2之积为偶函数，取法是1种
两卡片上函数之积为偶函数的取法有5种．

点评：本题考查分类加法原理，考查函数的奇偶性，本题是一个典型的分类计数原理问题，注意做到不重不漏．属中档题．