Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₁₁（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，求a₁+a₃+…+a₁₁的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（3）证明：

C

m m

+2

C

m m+1

+3

C

m m+2

+…+n

C

m m+n-1

=[

(m+1)n+1

m+2

]

C

m+1 m+n

．

Answer 1

分析：（1）考察（1+x）¹¹（1-x）¹¹展开式的项的项的关系，两式相减后再令x=1，可求．
（2）由于g（x）是由三个二项式的和组成；利用二项展开式的通项公式求出三个二项式中x⁶的系数，求它们的和．
（3）构造函数h（x）；待证等式的左边即为h（x）展开式含x^m的系数和；通过数列的求和方法：错位相减法求出h（x）；求出h（x）的展开式含x^m项的系数；利用组合数公式化简，恒等式得证．

解答：解：（1）f₁₁（x）=（1+x）¹¹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，①
考察（1-x）¹¹展开式的项，与①式奇数项相同，偶数项互为相反数．
∴（1+x）¹¹-（1-x）¹¹=2（a₁x+a₃x³+…+2a₁₁x¹¹），
令x=1得 a₁+a₃+…+a₁₁=

(1+1)11-011

2

=1024．
 （2）f_n（x）=（1+x）ⁿ．展开式中含x⁶项为T₇=C_n⁶x⁶，系数为C_n⁶．
g（x）中含x⁶项的系数等于C₆⁶+2C₇⁶+3C₈⁶=99．
证明：（3）设h（x）=（1+x）^m+2（1+x）^m+1+…+n（1+x）^m+n-1（1）
则函数h（x）中含x^m项的系数为C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m
（1+x）h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2+…+n（1+x）^{m+n （2）}
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2+…+（1+x）^m+n-1-n（1+x）^m+n -xh(x)=

(1+x)m[1-(1+x)n]

1-(1+x)

-n(1+x)m+n
x²h（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx（1+x）^m+n
h（x）中含x^m项的系数，即是等式左边含x^m+2项的系数，
等式右边含x^m+2项的系数为-C_m+n^m+2+nC_m+n^m+1

=- (m+n)! (m+2)!(n-2)! + n(m+n)! (m+1)!(n-1)! = -(n-1)+n(m+2) m+2 × (m+n)! (m+1)!(n-1)1

=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1 m+n

所以C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1 m+n

点评：本题考查二项展开式的系数和问题，求二项展开式的特定项问题、考查赋值法、构造函数法、数列的求和方法、错位相减法．