Question

已知函数f(x)=log

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(x2-2ax+3)，
（1）若函数定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），求a的值；
（2）若函数值域为（-∞，-1]，求a的值；
（3）若f（x）在（-∞，1]单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得故-1和3是 x²-2ax+3=0的两个根，利用韦达定理求得a的值．
（2）若函数值域为（-∞，-1]，则函数f(x)=log

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(x2-2ax+3)≤-1，故有x²-2ax+3≥2恒成立，再根据判别式△=4a²-4≤0，求得a的范围．
（3）由题意可得，函数y=x²-2ax+3在（-∞，1]上单调递减，利用二次函数的性质求得a的范围．

解答：解：（1）由题意可得 x²-2ax+3＞0的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞），
故-1和3是 x²-2ax+3=0的两个根，故有-1+3=2a，解得a=1．
（2）若函数值域为（-∞，-1]，则函数f(x)=log

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(x2-2ax+3)≤-1，
故有x²-2ax+3≥2恒成立，即x²-2ax+1≥0恒成立，
故有△=4a²-4≤0，解得-1≤a≤1，故a的范围为[-1，1]．
（3）若f（x）在（-∞，1]上单调递增，则函数y=x²-2ax+3在（-∞，1]上单调递减，
故有a≥1，故a的范围为[1，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性、定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．