Question

已知关于x的方程

|x|

x+3

=kx3有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：此题必有一根为0，利用变量分离得到

1

k

=

x3+ 3x2 x＞0 -x3-3x2 x＜0

，再利用数形结合的思想得出方程有两个不等的实根时K的范围．

解答：解：由题意得：

1

k

=

x3+ 3x2(x＞0) -x3-3x2(x＜0)

，
利用导函数得到原函数的单调性，找到极值点，
当x∈（0，+∞），y'=3x²+6x=0，解得x=0或-2
当x∈（0，+∞）时，y'＞0
当x∈（-∞，0），y'=-3x²-6x=0，解得x=0或-2
当x∈（-∞，-2）时，y'＜0，当x∈（-2，0）时，y'＞0
∴x=-2处取极小值
画出等式右边函数的草图知-4＜

1

k

＜0或

1

k

＞0；
即K得范围为k＞0或k＜ -

1

4

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及此题关键在于利用导函数画出函数草图，属于基础题．