Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象上任意一点都不在直线y=x的下方．
（Ⅰ）求证：a+b+c≥1；
（Ⅱ）设g（x）=x²+x+3，F（x）=f（x）+g（x），若F（0）=5，且F（x）的最小值等于2，求f（x）的解析式．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象上任意一点都不在直线y=x的下方，
∴f（1）≥1，即a+b+c≥1；
（Ⅱ）∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象上任意一点都不在直线y=x的下方，
∴f（x）≥x，即ax²+（b-1）x+c≥0，
∵a≠0，
∴a＞0且（b-1）²-4ac≤0．
又F（0）=f（0）+g（0）=c+3=5，得c=2．
又F（x）=f（x）+g（x）=（a+1）x²+（b+1）x+5，
∴F（x）_min==2，整理得12a=（b+1）²-12，
将上式与c=2代入（b-1）²-4ac≤0，整理得（b-5）²≤0，
∴b=5，a=2．
∴f（x）=2x²+5x+2．
分析：（Ⅰ）依题意，由f（1）≥1即可证得结论；
（Ⅱ）依题意可得a＞0且（b-1）²-4ac≤0．由F（0）=0可求得c=2，又F（x）=f（x）+g（x）=（a+1）x²+（b+1）x+5，F（x）_min=2可求得12a=（b+1）²-12，与前者联立即可求得a，b．
点评：本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查二次函数的性质，考查分析与运算能力，属于难题．