Question

20．已知函数f（x）的导数为f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）＞0对x∈R恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（　　）

• A． f（x）
• B． xf（x）
• C． e^xf（x）
• D． xe^xf（x）

Answer 1

分析 利用函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，化简求解即可．

解答 解：设F（x）=xe^xf（x），则F′（x）=（x+1）e^xf（x）+xe^xf（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]．
∵（x+1）f（x）+xf′（x）＞0对x∈R恒成立，且e^x＞0．
∴F′（x）＞0，∴F（x在R上递增，
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性与导数的关系，考查转化思想以及计算能力．