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【题目】已知a∈R,函数f(x)═log2 +a).
(1)若f(1)<2,求实数a的取值范围;
(2)设函数g(x)=f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5],讨论函数g(x)的零点个数.

【答案】
(1)解:若f(1)<2,

则log2(1+a)<2,

即0<1+a<4,

解得:a∈(﹣1,3)


(2)解:令函数g(x)=f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0,

则f(x)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5],

+a=(a﹣4)x+2a﹣5,

即(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,

① 当a=4时,方程可化为:﹣x﹣1=0,解得:x=﹣1,

此时 +a=(a﹣4)x+2a﹣5=3,满足条件,

即a=4时函数g(x)有一个零点;

②当(a﹣5)2+4(a﹣4)=0时,a=3,方程可化为:﹣x2﹣2x﹣1=0,

此时 +a=(a﹣4)x+2a﹣5=2,满足条件,

即a=3时函数g(x)有一个零点;

③当(a﹣5)2+4(a﹣4)>0时,a≠3,

方程有两个根,x=﹣1,或x=

当x=﹣1时, +a=(a﹣4)x+2a﹣5=a﹣1,当a>1时,满足条件,

当x= 时, +a=(a﹣4)x+2a﹣5= ,当a 时,满足条件,

a≤ 时,函数g(x)无零点;

<a≤1时,函数g(x)有一个零点;

a>1且a≠3且a≠4时函数g(x)有两个零点


【解析】(1)若f(1)<2,则log2(1+a)<2,即0<1+a<4,解得实数a的取值范围;(2)令函数g(x)=f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0,即 +a=(a﹣4)x+2a﹣5,即(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,分类讨论方程根的个数,可得不同情况下函数g(x)的零点个数.

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患心肺疾病

不患心肺疾病

合计

大于40岁

16

小于或等于40岁

12

合计

80

已知在全部的80人中随机抽取1人,抽到不患心肺疾病的概率为
下面的临界值表供参考:

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
(1)请将2×2列联表补充完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关?

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