Question

【题目】已知中心在坐标原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.

（1）求此椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值1，

【解析】【试题分析】（1）依题意可知，得到，设出两点的坐标，利用点差法可得到的另一个关系式，由此求得的值.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去写出韦达定理，利用菱形和椭圆的弦长公式，求得面积的表达式，在利用二次函数最值来求得面积的最大值.

【试题解析】

（1）设所求椭圆方程为，由题意知，①

设直线与椭圆的两个交点为，弦的中点为，

由，两式相减得：，

两边同除以，得，即.

因为椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，所以，

所以， ，所以，即，②

由①②可得，

所以所求椭圆的方程为.

（2）设, 的中点为，

联立，消可得： ，

此时，即①

又，，

为对角线的菱形的一顶点为，由题意可知,即

整理可得： ②

由①②可得，，

设到直线的距离为，则

，

当的面积取最大值1，此时

∴直线方程为.