Question

【题目】如图所示，四棱锥中，平面平面，△ABC为等腰三角形，为的中点，为的中点，且，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）连结PF，先证明DC⊥平面ABC，再证明AFPE是平行四边形，得到EP⊥平面BCD

（Ⅱ）先得到EP是三棱锥E﹣BDF的高，再计算EP=，代入面积公式计算得到答案.

（I）由题意知△ABC为等腰直角三角形，

而F为BC的中点，所以AF⊥BC．

又因为平面AEDC⊥平面ABC，且∠ACD=90°，

所以DC⊥平面ABC．

而AF平面ABC，所以AF⊥DC．

而BC∩DC=C，所以AF⊥平面BCD．

连结PF，则PF∥DC，PF=DC，

而AE∥DC，AE=DC，所以AE∥PF，AE=PF，

AFPE是平行四边形，

因此EP∥AF，故EP⊥平面BCD．

（II）因为EP⊥平面BCD，所以EP⊥平面BDF，EP是三棱锥E﹣BDF的高．

所以EP=AF=BC==．

故三棱锥E﹣BDF的体积为：

V=．