Question

在数列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅱ）证明：当a=2，b=

2

时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（I）由a₁=b₁，a₂＜b₂，结合已知可建立a，b的方程，从而可求a，b，进一步求出数列b_n的通项及前n项和
（II）a=2， b=

2

结合（I）知bn=3n+

2

，假设a_ma_na_t（m．n．t∈N₊）成等比数列，且m≠n≠t，由假设推导可得3n2-3mt=

2

(m+t-2n)，结合m≠t≠n∈N₊的条件可知矛盾．
（III）设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，若m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，
由m₀∈A可设m₀=a^{t，由m₀∈B可设m_o=（a+1）s+b}，整理可得s=

at-b

a+1

分t为奇偶情况分别进行讨论，若推出矛盾，则说明不存在，否则存在符合条件的实数b

解答：解：（Ⅰ）因为a₁=b₁，所以a=a+1+b，b=-1，（1分）
由a₂＜b₂，得a²-2a-1＜0，
所以1-

2

＜a＜1+

2

，（3分）
因为a≥2且a∈N^*，所以a=2，（4分）
所以b_n=3n-1，{b_n}是等差数列，
所以数列{b_n}的前n项和Sn=

n

2

(b1+bn)=

3

2

n2+

1

2

n．（5分）
（Ⅱ）由已知bn=3n+

2

，假设3m+

2

，3n+

2

，3t+

2

成等比数列，其中m，n，t∈N^*，且彼此不等，
则(3n+

2

)2=(3m+

2

)(3t+

2

)，（6分）
所以9n2+6

2

n+2=9mt+3

2

m+3

2

t+2，
所以3n2-3mt=(m+t-2n)

2

，
若m+t-2n=0，则3n²-3mt=0，可得m=t，与m≠t矛盾；（7分）
若m+t-2n≠0，则m+t-2n为非零整数，(m+t-2n)

2

为无理数，
所以3n²-3mt为无理数，与3n²-3mt是整数矛盾．（9分）
所以数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列．
（Ⅲ）设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，
设m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，
设m₀=a^t（t∈N^*），m₀=（a+1）s+b（s∈N^*），
则a^t=（a+1）s+b，所以s=

at-b

a+1

，
因为a，t，s∈N^*，且a≥2，所以a^t-b能被a+1整除．（10分）
（1）当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，
所以s=

a-b

a+1

∉N*；（11分）
（2）当t=2n（n∈N^*）时，a²ⁿ-b=[（a+1）-1]²ⁿ-b=（a+1）²ⁿ+-C_2n¹（a+1）+1-b，
由于b∈[1，a]，所以b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，a^t-b能被a+1整除．（12分）
（3）当t=2n+1（n∈N^*）时，a²ⁿ⁺¹-b=[（a+1）-1]²ⁿ⁺¹-b=（a+1）²ⁿ⁺¹++C_2n+1¹（a+1）-1-b，
由于b∈[1，a]，所以b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，a^t-b能被a+1整除．（13分）
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠∅成立，且当b=1时，C={y|y=a²ⁿ，n∈N^*}；当b=a时，C={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N}．

点评：本题综合考查了数列的求和、等比数列的定义、数列与集合综合，考查了考生的逻辑推理能力与分析问题、解决问题的能力．